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实变函数论（配课件）-上海财经大学数学学院编

丛书名：
著（译）者：上海财经大学数学学院编
资源下载：无资源下载
责任编辑：刘光本
字       数：132千字
开       本：16 开
印       张：5
出版版次：1-1
出版年份：2018-02-01
书       号：978-7-5642-2880-4/F.2880
纸书定价：39.00元   教师会员可用500积分申请样书

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实变函数的基础是点集论。点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理

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实变函数的基础是点集论。点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。
简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念是由法国数学家勒贝格提出来的。
为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格于1902年发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。勒贝格后来还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来又推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。

总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支中的应用是现代数学的特征。
实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。
实变函数论也是作为概率论的基础。1933年Kolmogrov从测度论的观点出发创立了概率论的公理体系，为现代概率论奠定了数学基础。
所以，实变函数论不仅仅是各个数学专业必修的基础课程，也是统计专业的重要课程之一。对现代的经济学也是很重要一门课程。

前言1

第一章集合与映射1
§1．1集合的对等和基数3
§1．2可列集的性质6
§1．3集合列的极限8
§1．4环、代数和σ代数10
§1．5Cantor集和Cantor函数14
习题一16

第二章测度18
§2．1集函数18
§2．2外测度和勒贝格（Lebesgue）测度22
§2．3勒贝格测度的性质35
§2．4勒贝格—斯提杰思（LebesgueStieltjes）测度及推广48
§2．5概率测度59
习题二62第三章可测函数66
§3．1可测函数的定义及其简单性质66
§3．2可测函数的结构72
§3．3可测函数列的收敛81
§3．4随机变量92
习题三95

第四章积分98
§4．1非负简单函数的勒贝格积分98
§4. 2非负可测函数的勒贝格积分101
§4．3一般可测函数的勒贝格积分110
§4．4黎曼积分和勒贝格积分125
§4．5勒贝格—斯提杰思积分131
§4．6一般测度意义下的积分135
§4．7概率测度意义下的积分、期望、方差137
§4．8重积分、累次积分、富比尼（Fubini）定理140
习题四150

第五章微分和积分155
§5．1单调函数155
§5．2有界变差函数164
§5．3不定积分169
习题五176